Geometrie in der FEM

In diesem Blog wird Ihnen aufgezeigt, welche Schritte bei einer strukturmechanischen Analyse durchgeführt werden müssen. Eine Analyse besteht grundsätzlich immer aus einem mathematischem und einem physikalischem Ersatzmodell. Dieser Artikel beginnt nun mit dem mathematischem Ersatzmodell und der Geometrie.

Diese ist in den meisten Fällen ein mit dem CAD erstellter 3D-Volumenkörper. Es sind aber auch 1- und 2D Geometrien verwendbar. Bei der Finite-Elemente-Methode ist das Volumenmodell nur zu Beginn notwendig. Sobald die Diskretisierung erfogte, ist die ursprüngliche Geometrie nicht mehr relevant. Bei den meisten Softwarelösungen ist die Geometrie jedoch zum besseren Verständnis dennoch eingeblendet. Daher ist es besonders wichtig zu verstehen, dass die Berechnung ausschließlich mit dem Netz und nicht der Geometrie durchgeführt wird.

Die Konsequenzen möchte ich Ihnen anhand eines sehr simplen Beispiels aufzeigen. Sie möchten Berechnungen an einer idealen Kugel durchführen. Sie verwenden für die Diskretisierung nur ein einziges Quaderelement. Dessen Eckpunkte liegen jeweils auf der Oberfläche der Kugel. Für die weitere Berechnung wird allerdings nicht die Kugel, sondern ein Quader verwendet, auch wenn das System vielleicht noch eine Kugel anzeigen würde. Diesen Umstand können Sie beheben, indem Sie die Elemente kleiner werden lassen um so das Volumen besser abbilden zu können. Durch die höhere Anzahl Elemente steigt allerdings auch die Berechnungsdauer an.

Idealisierung oder Vereinfachung der Geometrie

Berechnungsingenieure verwenden daher idealisierte oder vereinfachte Geometriemodelle um ein sinnvolles Maß zwischen Netzqualität und Elementanzahl zu erhalten. Alle Details einer Geometrie, welche nicht zwingend für die Auswertung oder die physikalische Ersatzmodelle benötigt werden, werden vereinfacht dargestellt oder gar völlig ignoriert. Beispiele hierfür können auch Fasen oder Radien sein.

Bei Baugruppen wird dieses Verfahren ähnlich angewendet. Baugruppen haben durch die hohen Anzahl von Teilen meist eine sehr große Anzahl von Elementen um eine gute Netzqualität zu realisieren. Um die Berechnungsdauer zu optimieren wird hier, wie bei der Geometrie am Einzelteil, nicht Berechnungsrelevante Geometrie bzw. Teile ignoriert.

Symmetrien

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, Symmetrien ausnutzen zu können. Beispielsweise könnten Achsen symmetrische Bauteile “halbiert” werden, wenn auch die Lasten symmetrisch sind. Bei der Definition des physikalischen Ersatzmodells muss auf diesen Umstand eingegangen werden, um das Bauteilverhalten korrekt abzubilden. Dies hat den Vorteil, dass nur die hälfte der Elemente benötigt wird um die identische Ergebnisqualität zu liefern. Dies wiederum ist eine signifikante Zeitersparnis. Im Umkehrschluss könnten Sie auch die Elementzahl in etwa verdoppeln um bei gleichem Zeitaufwand eine höhere Genauigkeit erzielen zu können. Welche Lösung sinnvoll ist, hängt vom Einzelfall ab.

Bei Rotationssymmetrischen Bauteilen kann dies sogar nochmals gesteigert werden. Im Idealfall ist der Rotationskörper auf eine Fläche zurückzuführen. Durch das Verwenden von 2D-Elementen statt 3D Elementen entfallen entsprechend viele Freiheitsgrade in den Knoten. Zusätzlich muss nur eine Fläche vernetzt werden und kein 3D Volumen. Durch die dramatische Reduzierung der Gleichungen ist die Berechnungsdauer drastisch gesunken. Sie können wie bei den Achssymmetrischen Bauteilen auch hier die Elementanzahl dramatisch erhöhen um bei gleichem Zeitaufwand deutliche genauere Ergebnisse zu erhalten.

Geometrievereinfachung vs. Genauigkeit der Ergebnisse

Sie konnten erkennen, dass die Geometrie bzw. der Grad der Vereinfachung einen starken Einfluss hat auf die Ergebnisqualität. Je komplexer die Geometrie, desto mehr Elemente werden benötigt um die Geometrie sinnvoll abbilden zu können. Dies wiederum erhöht die Berechnungsdauer. Wird die Geometrie vereinfacht um die Elementanzahl zu reduzieren, gehen Geometrieinformationen verloren. Es ist für jede Geometrie daher ein Optimum zwischen Vereinfachung und Ergebnisqualität zu finden. Aus diesem Grund ist die Ergebnisbewertung bzw. dessen Interpretation ein besonders wichtiger Punkt in der Finite-Elemente-Analyse.

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Ich hoffe Sie konnten einiges mitnehmen.

Ich wünsche noch viel Erfolg!

Marc Beha

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