Monat: April 2017

Dieses Beispiel soll nur die Funktionsweise etwas deutlicher aufzeigen. Mit den bereits vorangegangen Artikeln haben Sie das notwendige Grundwissen bezüglich der Funktionsweise und der Steifigkeitsmatrix. Es wird in diesem nicht auf Idealisierungen der Geometrie, Kontaktdefinitionen, Plastizitäten und Ansatzfunktionen eingegangen. Diese Themen werden zu einem späterem Zeitpunkt in gesonderten Artikeln behandelt. Ebenfalls wird es dann ein entsprechendes Beispiel geben.

Der Biegebalken

Das nachfolgende Bild zeigt einen einfachen einseitig eingespannten Balken. Der Biegebalken besitzt eine definierte Länge und wird am Ende mit einer definierten Kraft ausgelenkt.

Gesucht ist die resultierende Spannung in Abhängigkeit der Kraft. Wenn Sie den Artikel zur Steifigkeitsmatrix gelesen haben, haben Sie schon die ersten Zusammenhänge zu dieser Erkannt. Vorgegen wird die Kraft  (F) und als gesuchte Größe soll die Verschiebung (u) berechnet werden, da aus dieser wiederum die Spannung abgeleitet werden kann. Um die Steifigkeitsmatrix zu vervollständigen wird nun die Steifigkeit (k) benötigt. Die Lösung soll sowohl analytisch als auch durch eine FE-Berechnung erfolgen. Hieraus werden die Unterschiede und die grundlegende Funktionsweise der FEM mit der Steifigkeitsmatrix deutlich.

Analytischer Berechnungsansatz

Für einen einfachen Biegebalken kann eine analytische Berechnung einfach durchgeführt werden. Entweder man leitet die Beziehung selbst her oder nutzt diverse Tabellenbücher, in denen die Gleichungen bereits zur Verfügung stehen. So gilt für einen Biegebalken für die Durchbiegung die Beziehung:

Verschiebung~(u)=Kraft (F)*\frac{[Laenge~(l)]^2}{3*Elastizitaetsmodul~(E)*Laenge~(l)}

Sie erkennen auch hier die Komponenten Kraft, Verschiebung und Steifigkeit der Grundgleichung wieder. Die analytische Lösung würde nun eine Funktion der Spannung in Abhängigkeit der Länge ergeben, da das Biegemoment mit dem Hebelarm linear zunimmt. An der Einspannung wird daher die Spannung am größten sein. Am Punkt der Auslenkung am geringsten. Ein linearer Abfall der Spannung ist die Folge, da das Widerstandsmoment konstant bleibt.

Numerischer Berechnungsansatz durch FEM

Wie Sie bereits im Artikel zur Funktionsweise der FEM gelesen haben, ist die Grundidee der FEM eine Diskretisierung der Geometrie. In diesem Fall wird der Biegebalken in vier gleichgroße Elemente zerlegt.

Biegebalken, der in vier gleichgroße Elemente zerlegt wurde1

Wird mit dieser Elementverteilung eine FE-Berechnung durchgeführt und eine lineare Ansatzfunktion gewählt, so erhält man für ein Element eine konstante Spannung und der Spannungsverlauf über die Länge des Biegebalkens wird nicht linear, sondern in Form einer Treppe abgebildet. In nachfolgender Abbildung sehen sie in schwarz die analytische Berechnung und farbig entgegengestellt die FE-Berechnung.

Vergleich der Spannungen der analytischen und FE-Berechnung mit 4 Elementen2

Sie können erkennen, dass die Abbildung der Spannung durch die FE-Berechnung im Vergleich zur analytischen Berechnung sehr ungenau ist. Durch die geringe Anzahl der verwendeten Elemente wird der analytische Graph nicht zufriedenstellend abgebildet. Wie Sie bereits aus früheren Artikeln wissen, ist das Ergebnis Abhängig von der Diskretisierung. Wenn Sie daher die Anzahl der Elemente verdoppeln, erhalten Sie nachfolgende folgende Treppenverteilung.

Vergleich der Spannungen der analytischen und FE-Berechnung mit 8 Elementen3

Sie können sehen, dass die Berechnung mit acht Elementen deutlich bessere Ergebnisse erzielt. Jedoch ist auch der Berechnungsaufwand verdoppelt worden. Wenn Ihnen das Ergebnis noch zu ungenau ist, können Sie die Anzahl Elemente solange erhöhen, bis die Abweichung zum analytischem Modell Ihren Wünschen entspricht.

Fazit: Berechnungsdauer vs. Genauigkeit der Ergebnisse

In diesem Beispiel wurde deutlich, dass die Berechnungsdauer und die Genauigkeit der Ergebnisse in den meisten Fällen voneinander Abhängig sind. Die beiden Größen stehen sich meist gegenüber und zwingen den Berechnungsingenieur zu einem Kompromiss. Es muss ein Optimum zwischen Berechnungsaufwand und Ergebnisqualität gefunden werden. Dieses Optimum muss für jede Berechnung neu ermittelt werden.

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Ich hoffe anhand des Beispiels konnten Sie noch einmal die gelesenen Informationen vertiefen und festigen.

Ich wünsche noch viel Erfolg!

Marc Beha

Fußnoten   [ + ]

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